Тайны листа Мебиуса Работу

ч. 1



Тайны листа Мебиуса

Работу выполнили учащиеся 7-го класса МОУ Новоспасской СОШ Придатченко Кирилл и

Мазуренко Елена

Руководитель: учитель математики

Придатченко О.Г.


Оглавление

Введение ……………………………………………………………………....4

1. Мёбиус Август Фердинанд..........................................................5

2. Открытие Мебиуса .................................................................

3.Что такое топология?..........................................................................................5

4. Применение листа Мебиуса…………………………………………………….6

5. Наши эксперименты ……………………………………7

Выводы ........................................................................................... Заключение………………………………………………………………….....9



Список использованной литературы……………………………………..10 Приложение…………………………………………………………………..11

Введение
Для многих людей математика является и трудной, и непонятной, и неинтересной. .Наш современник Сухомлинский считал, «что чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.

Интересность ленты заключается уже в том, что в отличие от обыкновенного листа бумаги она имеет только одну поверхность, а не две. То есть, если начать закрашивать лист бумаги, не переходя через грань, то закрасится только одна сторона. Если проделать то же самое с лентой Мебиуса, лента закрасится с обеих сторон.

Загадки продолжаются, и когда мы начинаем разрезать ленту Мёбиуса. Лист Мёбиуса служил вдохновением для скульптур и для графического искусства.

Нас так заинтересовал этот лист, что мы стал искать про него разную информацию и проводить с ним разные опыты, о результатах которых мы вам расскажу в своей работе.

Отсюда, объект исследования: лист Мёбиуса как модель односторонней поверхности. Предмет исследования: свойства односторонний поверхности на примере ленты Мёбиуса

Цель работы:

-определить и опытно – экспериментальным путём проверить удивительные свойства ленты Мёбиуса.

В соответствии с поставленной целью и выдвинутой гипотезой определились следующие задачи:

- раскрыть понятие топологии;

-изучить вклад А.Ф. Мёбиуса в развитие науки топологии;

- описать лист Мёбиуса и процесс его изготовления;

- показать использование листа Мёбиуса в искусстве;

- разработать методику определения удивительных свойств листа Мёбиуса;

- проверить опытно-экспериментальным путём эти свойства.

Метод исследования: практический эксперимент.

Теоретическая значимость нашей работы в том, что в последнее столетие большое влияние на ряд совершенно различных областей знания приобрела новая ветвь геометрии - топология. В наше время эта наука бурно развивается и находит применение в различных областях. Однако ей не уделяется должного внимания в школьном курсе геометрии.




1. Мёбиус Август Фердинанд

Немецкий геометр и астроном, профессор университета города Лейпциг.



А жизнь прошла так:

  1. Родился в Шульпфорте 17.11.1790.

  2. Учился в Лепццигском университете (1809 – 1813).

  3. Ученик "короля математиков" К. Гаусса в Геттигенском университете (1813-1814).

  4. В 1814 изучал математику у И.Ф. Пфаффа в университете в Галле.

  5. С 1816 г. начал вести самостоятельные астрономические наблюдения в Плейсенбургской обсерватории.

  6. В 1818г. стал ее директором, позже - профессором Лейпцигского университета.

  7. Умер 26.09.1868

Как стал геометром?

  • Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс.

  • В те времена занятия математикой не встречали поддержки, а астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений.

  • И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX в.

Чем занимался Мебиус?

Проективной геометрией. А именно:



  1. Впервые ввел систему координат и аналитические методы исследования.

  2. Установил понятие проективного преобразования, ввёл коррелятивные преобразования.

  3. Установил существование односторонних поверхностей (листов Мебиуса), многогранников, для которых не применим «Закон ребер» и которые не имеют объема.

  4. Один из основоположников теории геометрических преобразований, топологии, теории векторов и многомерной геометрии.

  5. Создал новую классификацию кривых поверхностей.

Мемуары Мебиуса:

Мёбиус опубликовал в 1828г. мемуары «Барицентрические исчисления», содержавшие новые геометрические идеи.

Ввел барицентрические координаты, бесконечно удаленные элементы, правило знаков в геометрии

Кроме того: в теории чисел и алгебре известны обратные формулы Мёбиуса.


2. Открытие Мебиуса

В 1858г. в возрасте 68 лет Мёбиусу удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей.

Мебиус послал в Парижскую академию наук работу, включавшую сведения об этом листе. Семь лет он дожидался рассмотрения своей работы и, не дождавшись, опубликовал ее результаты.

Есть три версии:



  1. Открыть свой «лист» Мёбиусу помогла служанка, сшившая однажды неправильно концы ленты.

2. Придумал ленту Мёбиус, когда наблюдал за горничной, неправильно одевшей на шею свой платок.

3. Виноват во всём портной, который неправильно вшил манжет рубашки.



Как получить лист Мебиуса?

Перекрутите на пол-оборота один конец прямоугольной бумажной полоски и приклейте его к другому концу той же полоски. Эту модель и называют: «лист Мебиуса».



3.Что такое топология?

Топология (от греч. tоpos — место) — часть геометрии, посвященная изучению феномена непрерывности (выражающегося, например, в понятии предела).

Лист Мёбиуса - один из объектов топологии. Топология-«геометрия положения». У этого листа есть удивительные свойства: он имеет один край, одну сторону. Данные свойства не связаны с его положением в пространстве, с понятием расстояния, угла и, тем не менее, они имеют геометрический характер. Изучением этих свойств занимается топология. Свойства такого типа, несмотря на кажущуюся их непривычность, связаны с наиболее абстрактными математическими дисциплинами - алгеброй и теорией функций. В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины). С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно и тоже. Сжимая и растягивая кусочек резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты, чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Понятие и теоремы топологии полезны во всех областях математики, в технике, в экономике, психологии.

Топология – одна из наук, в которых не решены многие проблемы. Быть может, кто-то внесёт свой вклад в её развитие.

4. Применение листа Мебиуса.

Лист Мёбиуса в науке и технике

Существовали технические применения ленты Мёбиуса.

Патентная служба зарегистрировала немало изобретений, в основе, которых лежит всё та же односторонняя поверхность. В 1923 году выдан патент изобретателю Ли де форсу, который предложил записывать звук на киноленте без смены катушек, сразу с двух сторон. Придуманы кассеты для магнитофона, где лента перекручивается и склеивается в кольцо, при этом появляется возможность записывать или считывать информацию сразу с двух сторон, что увеличивает ёмкость кассеты и соответственно время звучания.
В 1969 году советский изобретатель Губайдуллин предложил бесконечную шлифовальную ленту в виде листа Мёбиуса. В 1971 году изобретатель с Урала Чесноков П.Н. применил фильтр в виде листа Мёбиуса. Полоса ленточного конвейера выполнялась в виде ленты Мёбиуса, что позволяло ему работать дольше, потому что вся поверхность ленты равномерно изнашивалась.

В матричных принтерах красящая лента имела вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности.



Лист Мёбиуса в живописи и архитектуре

У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка. В 1967 году, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять сентаво. На ней была изображена лента Мёбиуса. И монумент высотой более чем в два метра, и крохотная марка – своеобразные памятники немецкому математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского университета (Прил. №5).


Лист Мёбиуса в литературе и цирковом искусстве


Более 100 лет лист Мёбиуса используется для показа различных фокусов и развлечений. Удивительные свойства листа демонстрировались даже в цирке, где подвешивались яркие ленты, склеенные в виде листов Мёбиуса. Фокусник закуривал сигарету и горящим концом дотрагивался до средней линии каждой ленты, которая была выполнена из калийной селитры. Огненная дорожка превращала первую ленту в более длинную, а вторую - в две ленты, продетая одна в другую. (В этом случае фокусник разрезал лист Мёбиуса не посередине, а на расстоянии в одну треть его ширины).
Фокусники используют лист Мебиуса уже на протяжении 75 лет. Вот пример еще одного фокуса: фокусник вручает зрителю три больших бумажных кольца, каждое из которых получилось путем склеивания концов длинной ленты. Зритель разрезает ножницами первое кольцо вдоль ленты посередине, пока не вернется в исходную точку. В результате получаются два отдельных кольца. Разрезая таким же образом второе кольцо, он получает, к своему удивлению, не два кольца, а одно, которое вдвое длиннее исходного. Наконец, разрезая третье, он снова получает поразительный результат: два кольца, сцепленных друг с другом. Результат этого фокуса зависит от того, как были сомкнуты концы ленты перед склейкой. Первое наше кольцо получилось путем простого соединения концов ленты без перекручивание. Второе кольцо получается при соединении концов ленты, перекрученной один раз на 180ْ. Третье кольцо получилось при разрезании ленты, концы которой перекручивались перед склейкой дважды. Известно еще много фокусов с применением ленты Мебиуса.

Лист Мёбиуса  (Наталия Юрьевна Иванова)



Лист Мебиуса - символ математики,
Что служит высшей мудрости венцом…
Он полон неосознанной романтики:
В нем бесконечность свернута кольцом.

В нем – простота, и вместе с нею – сложность,


Что недоступна даже мудрецам:
Здесь на глазах преобразилась плоскость
В поверхность без начала и конца.

Здесь нет пределов, нет ограничений,


Стремись вперед и открывай миры,
Почувствуй силу новых ощущений,
Прими познанья высшего дары:

Познай любовь и ненависть изведай,


Низвергнись в ад – тотчас увидишь рай.
Ты в одночасье насладись победой
И горечь пораженья испытай.
На грани бесконечного блаженства
Испытывая суеверный страх,
Найдешь свой путь. Достигнув совершенства,
Окажешься в таинственных мирах.

И, вдохновленный этим дерзновеньем,


По экспоненте поднимаясь в высь,
Ты ощутишь восторг освобожденья,
Почувствуешь, как возникает Мысль.

Покажется, что распростерлась Вечность,


Что взломан Мироздания пароль.
И вдруг твое стремленье в бесконечность
Тебя вернет к исходной точке: в ноль.

Как о порог, об этот ноль споткнешься.


Но как бы ни был прежний путь тернист,
Вновь выбирай (и ты не ошибешься!)
Путь в бесконечность – Мёбиуса лист

Чудесные свойства ленты Мебиуса породили множество фантастических рассказов. В одном из них описывался случай в Нью-Йоркском метро, когда потерялся во времени поезд, отправившийся в путь по сути, замкнутом в ленту Мебиуса. А в рассказе известного писателя-фантаста Артура Кларка «Стена Мрака» один из героев совершает путешествие по необычной планете, изогнутой в виде листа Мебиуса.


Другие гипотезы

Есть гипотеза, что спираль ДНК сама по себе тоже является фрагментом ленты Мебиуса и только поэтому генетический код так сложен для расшифровки и восприятия. Больше того – такая структура вполне логично объясняет причину наступления биологической смерти – спираль замыкается сама на себя и происходит самоуничтожение. Или аннигиляция, как подтверждают физики. Они, кстати, утверждают также, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале – это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой… правильно, зеркального своего двойника!



5. Наши эксперименты

Знаменитое бумажное кольцо

Оказывается, одностороннюю поверхность можно сконструировать. Вот, например, цилиндр. Он представляет собой двустороннюю поверхность. Если двигаться по одной его поверхности то, не пересекая « границы », нельзя очутиться на другой его стороне, т. е. внутри цилиндра. Если склеить лист Мебиуса, то получится односторонняя поверхность.

Для определения необычных свойств листа Мёбиуса мы составили план экспериментов:

1. Какой формы можно взять бумажную полоску, чтобы склеить ленту Мёбиуса?

а) бумагу нельзя мять;

б) бумагу не запрещается мять;

2. Что произойдёт с этим бумажным кольцом, если его разрезать

на 1,2,3…одинаковых полосок?

3. Что получится, если перед склейкой:

а) ленту перекрутить дважды, а затем разрезать на две, три части?

б) ленту перекрутить трижды, а затем разрезать также на две или

три части?


  1. Склеили обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем по средней линии

  2. Проделали в полосе щель и продернули сквозь неё один конец полосы. Склеили и разрезали по средней линии.

  3. Представим, что по ленте Мёбиуса вышли на встречу друг другу два человека. Что произайдет?

  4. У листа Мёбиуса — всего одна сторона! Убедимся в этом: возьмём кисти и краски, начнём постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места. Результаты экспериментов в приложении.

Выводы
Мы выяснили, что лист Мебиуса имеет один край, лист Мебиуса имеет одну сторону.

Лист Мёбиуса – топологический объект. Как и любая топологическая фигура лента Мёбиуса не меняет своих свойств, пока ее не разрезают, не разрывают или не склеивают его отдельные куски.

Главная ценность листа Мебиуса состоит в том, что он дал мощный толчок новым обширным математическим исследованиям

Лист Мёбиуса – первая односторонняя поверхность, которую открыл учёный. Позже математики открыли ещё целый ряд односторонних поверхностей. Но эта – самая первая, положившая начало целому направлению в геометрии, по – прежнему привлекает к себе внимание учёных, изобретателей, худож­ников.

В этой работе мы пытались описать свойства этой прекрасной поверхности-листа Мебиуса, показать его значимость на практике, доказать, что лист Мёбиуса – топологическая фигура.
Мёбиус повлиял не только на математиков, но и на художников, скульпторов, архитекторов и многих, многих, многих… В результате появились картины, скульптуры, марки, наколки и прочие произведения искусства с изображение ленты Мёбиуса.

Мы думаю, что следов Мёбиуса в искусстве будет ещё много.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ
«Мышление начинается с удивления»,- заметил 2500 лет назад Аристотель. Наш современник Сухомлинский считал, «что чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления.

Именно это мы попытались показать в своей работе, описывая лист Мёбиуса и процесс его изготовления, раскрывая опытным путём свойства этого поразительного открытия. Наше предположение подтвердилось: лента Мёбиуса обладает не только свойством односторонности, но и такими, действительно, неожиданными свойствами, как непрерывность и связность.



Представленная в работе односторонняя поверхность увековечена в памяти людей. У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне медленно вращается на пьедестале стальная лента – лист Мёбиуса. А в 1967г, когда в Бразилии состоялся международный математический конгресс, его устроители выпустили марку с изображением листа или ленты Мёбиуса.

Список литературы:


  1. Воронец А.М. Математические развлечения. М.: Учпедгиз, 1981.

  2. Гарднер М. Математические досуги. М.: 1992.

  3. Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел для учащихся. М.: Просвещение, 1996.

  4. Кордемский Б.А. Топологические опыты своими руками./ «Квант» №3, 1974,стр73.

  5. Коробенок Е.В., Столяр А.А. Сколько сторон у поверхности?: Беседы с учащимися VII-X классов. Минск: Народная асвета, 1995.

  6. Леман И. Увлекательная математика. М.: Знание, 1985.

  7. Лоповок Л.М. Математика на досуге: Книга для учащихся среднего школьного возраста (IV-VIII классы). М.: Просвещение, 1990.

  8. Рупасов К.А. Математика на школьной сцене. Тамбов, 1999.

Интернет – ресурсы:

http://websib.ru/noos/math/listmebiusa/index.html

http://canegor.urc.ac.ru/training/2/vozp.htm

http://host.km.ru/sashka/ho7/lenta.htm

http://school-sector.relarn.ru/dckt/projects/ctrana/matric/t_lm.htm

http://www.diptih.com.ua/k_exp/kex13.html

http://beluch.boom.ru/topo2.htmmebiusa/index.html

http://canegor.urc.ac.ru/training/2/m.html

http://umiranie.chat.ru/sphere.htm

http://www.univer.omsk.ru/omsk/edu/math/mmebius.htm

http://host.km.ru/sashka/ho7/lenta.htm

Приложение


№ опыта

Описание и результат

Рисунок

Результат

1

а) если бумагу нельзя мять, то лист Мёбиуса можно склеить только из прямоугольной полоски, где длина больше ширины.









б) если бумагу не запрещается мять, то ленту Мёбиуса можно склеить не только из квадрата, но и из прямоугольника любых размеров – склеиваемые стороны могут быть во сколько угодно раз длиннее несклеиваемых.

Сделать это можно так. Сложим прямоугольный лист в гармошку, перегнув его чётное число раз. Затем из этой гармошки, как из толстой бумажной полоски, склеим ленту Мёбиуса, вставляя, соответствующие части гармошки друг в друга. Лента Мёбиуса склеена, но лист бумаги оказался смятым.









2

Разрезания листа Мебиуса

Результаты в таблице № 1








3

Что получится, если перед склейкой:

а) ленту перекрутить дважды, а затем разрезать на две, три части?

б) ленту перекрутить трижды, а затем разрезать также на две или

три части?

Результаты в таблице № 2







4

Склеили обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем по средней линии. Получился квадрат.







5

Проделали в полосе щель и продернули сквозь неё один конец полосы. Склеили и разрезали по средней линии.

Получились два отдельных листа Мёбиуса









6

Представим, что по ленте Мёбиуса вышли на встречу друг другу два человека. Но эти люди, при одинаковой скорости движения, никогда не встретятся






7

Убедимся в этом: возьмём кисти и краски, начнём постепенно окрашивать его в какой-нибудь цвет, начиная с любого места. После окончания лист у нас полностью окрашен.





Таблица № 1. Результаты второго опыта




На сколько полосок разрезан лист Мёбиуса.

Что получилось после разрезания листа Мёбиуса.

2


большие

маленькие

1




3

1

1

4

2




5

2

1

6

3




7

3

1

8

4




9

4

1

10

5




- при разрезании ленты Мёбиуса на чётное число полосок получаются только большие сцепленные кольца, которых в два раза меньше, чем количество разрезов (полосок).

-при разрезании ленты Мёбиуса на нечётное число полосок получаются одно маленькое и несколько больших колец, сцепленных с маленьким, которых тоже в 2 раза меньше разности между количеством разрезов и маленьких колец.

Таблица № 2. Результаты третьего опыта.


Количество разрезов

Количество полученных колец




Перекручено дважды

Перекручено трижды

2

2

2

3

3

3

4

4

4

5

5

5

6

6

6

- если ленту перекрутить дважды и разрезать на четное или нечетное число полосок, то их количество совпадет с количеством получившихся взаимосвязанных колец одинаковой величины, каждое из которых является лентой Мебиуса;

- если ленту перекрутить трижды, то результат получится такой же, т.е. количество разрезов, совпадает с количеством колец одинаковой величины, каждое из которых является лентой Мебиуса, и вместе они образуют такую же поверхность;

Таким образом, лента Мёбиуса обладает не только свойством односторонности , но и такими неожиданными свойствами, как непрерывность и связность.




ч. 1